円筒面で囲まれた 2 つの粉っぽい磁性液体の非線形安定性: 質量と熱拡散の影響

Scientific Reports volume 13、記事番号: 7096 (2023) この記事を引用

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今回の記事では、リブリン・エリクセン粘弾性モデルに従い、浮遊ダスト粒子によって過負荷になった非線形軸対称流動流を検証します。 流体は、無限の垂直な円筒形の境界面によって分離されます。 均一な軸方向の磁場と質量および熱伝達 (MHT) が円筒状の流れのあらゆる場所に作用します。 簡単にするために、解析を容易にするために粘性ポテンシャル理論 (VPT) が採用されています。 この研究は、廃水処理、石油輸送、およびさまざまな実用的な工学用途においてその重要性を見出しています。 非線形アプローチの方法論は、主に、適切な非線形適用可能な境界条件 (BC) とともに線形基本運動方程式を利用することが条件となります。 無次元の手順により、物理的な無次元の数値のグループが明らかになります。 線形安定性の要件は、Routh-Hurwitz ステートメントによって推定されます。 テイラー理論を複数の時間スケールに適用すると、非線形安定性基準を規定するギンツブルグ・ランダウ方程式が得られます。 したがって、理論的な非線形安定性の基準が決定されます。 グラフの集合は、線形アプローチだけでなく非線形アプローチでも描画されます。 ホモトピー摂動法 (HPM) を考慮すると、表面変位に対する推定された均一な解が期待されます。 この解は数値的アプローチによって検証されます。 安定性構成に対するさまざまな自然要因の影響が取り上げられます。 浮遊内部ダスト粒子の密度数が浮遊外部ダスト粒子の密度数より小さい場合、またはその逆の場合、構造は安定であることが反映されることがわかります。 さらに、液体の純粋な外部粘度が増加すると、安定範囲が縮小します。これは、このパラメータが不安定化する影響があることを意味します。 さらに、磁場と熱伝達は粘弾性の性質に影響を与えません。

磁性流体は磁気応力が現れる点で従来の流体と比べて流体力学が大きく異なり、MHD とは異なり電流が必要でした1。 任意の単一値の磁化を持つ磁性流体の応力テンソル表現を開発しました。 磁性流体は、蓄積を避けるために界面活性剤で覆われたナノスケールの強磁性粒子 (10 nm) で構成されるコロイド状の組み合わせであり、流体担体 (通常は有機溶媒または水) に分散された磁性流体として特徴付けられる場合があります2。 磁性流体は、接線方向および半径方向の磁場にさらされることで多くの注目を集めてきました。 磁性液体が傾斜した磁気強度を持つことが明らかになったときの、磁性液体の自由表面の非線形波動伝播が設計されました3。 いくつかの図では、巨視的な磁性流体の乱れが示されており、その結果、サブミクロンの寸法に凝縮できるデザイン、ライン、開発がもたらされました4。 脂質ナノ粒子を介して人体の特定の部分に薬剤を届け、赤血球を放出するための多くの進歩が設計されています。 磁性流体は膨大な潜在的用途を圧縮し、バイオテクノロジーと生物医学の両方の分野で最大限に活用できます5。 振動マランゴニ効果の発生は、線形安定理論6によって研究されました。 平行流の線形安定性を調査するために、熱勾配と高傾斜磁気強度が使用されました7。 安定性解析の結果、磁気レイリー数は磁場の傾きの影響を受けないが、重要な重力レイリー数は若干の偏差により多少変化することが判明した。 2 つの非混和磁性液体を分離する波の伝播の不安定性が調査されました8。 分析的かつグラフ的に、さまざまな安定性要件に対処しました。 必須波数を下回る短い波は安定であることが判明した。 しかし、多くの長波が不安定であることが発見されました。 傾斜磁力の存在下で直進的に流れる磁性液体の安定性が研究されました9。 この方法論では、界面を介した MHT の効果によるケルビン・ヘルムホルツ不安定性 (KHI) の改善の線形解析を使用しました。 この分野の重要性は、構造のいくつかの基本的な要素の選択に深く依存していることが明らかになりました。 MHT を使用した透過性媒体の KHI 飽和のための新しい数学的方法が参考文献 10、11 で研究されました。 2 つの限られた水平磁性液体が、均一な接線方向の磁場によって作用されました。 一貫した軸方向の磁場は構造に影響を与え、分離面での表面電流の存在は磁場の強度によって可能になりました。 磁性流体のさまざまな分野における広範な製品を考慮して、現在の研究では 2 つの異なる磁性液体を接続する界面の安定性を調査します。

弾性粘稠ナノ流体における二重拡散対流の現象は、電気化学、食品製造、工学および原子力技術、地球物理学、生物工学による癌治療、生理学的流体運動、海洋学、その他多くの分野において不可欠でした。 Oldroyd12 は流体の構成方程式を開発し、それらをオールドロイド流体と呼びました。 それは、主要な非ニュートン流の特徴が、移動するポリマー溶液やその他の弾性粘稠な液体に見られることを示しました。 Chandrasekhar13 は、流体力学と流体磁気学の仮説におけるニュートン流体と非ニュートン流体に関する多数の熱不安定性問題を調査しました。 浸透性媒体中に浮遊粒子を含むリブリン・エリクセン粘弾性流体上のニュートン粘性液体のレイリー・テイラー不安定性（RTI）が調査されました14。 定常磁場の影響下での透過性媒体中のリブリン・エリクセン流体の対流安定性に対するホール電流の影響が考慮されました 15,16。 この研究のインスピレーションは、流体と粒子の組み合わせの技術的および工学的重要性と、重ね合わされた粘弾性液体の不安定性の問題における浮遊粒子の重要性の現実から生まれました。 さらに、それらはさまざまな地球物理学的および化学的用途にも役立ちました。 安定性の基準は粘度や粘弾性の影響とは独立しており、磁場の向きと大きさに依存することが判明しました。 浸透性媒体を通過する無限成層流における RTI に対する量子現象の影響が研究されました 17。 量子の影響に加えて、垂直磁場が検討中のシステムに非常に大きな安定性をもたらすことが発見されました。 強い磁場中で透過性媒体を通過する粘弾性リブリン・エリクセン粉っぽい液体の RTI が研究されました 18,19。 分散関係は、線形化理論とノーマルモード解析を使用して計算されました。 KHI は、小さな波長の摂動に対する効率的な界面張力を抑制しましたが、かなりの多孔性により、流動速度の変化で表される安定性の範囲が制限されました。 圧力駆動の​​一時的なリブリン・エリクセン液体と、対流冷却システムを通る流体磁気の 2 段階の発熱化学反応流における粘度変化の不可逆性が分析されました 20。 潤滑会社は、エンジニアリングシステムで使用される流体磁性物質の有効性を改善したい場合、これらに興味を持つでしょう。 現在の科学技術におけるナノ流体の影響が増大していることから、リブリン・エリクセン液体の調査は興味深いものでした。 したがって、現在の研究では、2 つの塵の多いリブリン・エリクセン液体を接続する円筒面の不安定性解析を実施します。

VPF を利用して、数多くの安定性の問題が調査されてきました。 液体の場合、VPF は渦度が正確にゼロになるナビエ・ストークス方程式の解を作成しました。 それにもかかわらず、VPF では、非圧縮性液体における応力の粘性効果はゼロではありませんでした。 したがって、粘性項はもはや存在しません。 さらに、VPF が境界要件を満たすためには、速度とせん断応力の接線方向成分が、物質または他の液体から液体を分離する表面全体にわたって連続的である必要があります。 VPF では、平衡応力と接線応力は考慮されていません。 粘性の存在を確立するために垂直応力のみが使用されました。 ベナール対流の開始に対する浮遊粒子の影響に関する研究が行われました21。 したがって、浮遊粒子に対する層の影響が不安定化していることが観察されました。 この問題の背後にあるもう 1 つの原動力は、流体と粒子の相互作用を知ることが商業的利益と一致しないという事実でした。 微細ダストせん断流による成層流体の不安定領域を拡大する必要がある22。 Joseph ら 23 は、VPF を使用して 2 つの粘性流体の RTI を調べました。 さらに、VPF は粘弾性流体 RTI 問題を組み込むために拡張されました 24。 粘弾性ポテンシャル理論によって提供される臨界波長と成長速度が正確であることが発見されました。 最近、Joseph25 がこの問題について優れた調査を提供しました。 このレビューは、保存的な体積力を伴う非粘性液体の仮説的な流れに関するすべての定理が、非回転流れの領域全体の粘性流体に等しく適用できることを示しました。 VPF による線形 EHD 不安定性の 2 つの粘性層間の境界が研究されました 26。 安定性プロファイルに対するさまざまな要因の影響を示すために、多数のグラフが使用されました。 彼らは、安定性パターンが透過性のダーシー因子によって安定化されることを観察しました。 粘性および誘電性の液体の薄いシートの安定性は、空気の粘度が構造を不安定にするのに対し、液体の粘度が構造を安定させる VPF27 の適用によって対処されました。 化学および製造工学では、重なり合った懸濁液体の安定性に対する懸濁粒子の影響は重大な影響を与える可能性があります。 したがって、粉塵の多い液体は、その重要性を考慮して、現在の研究では考慮されています。 この原則は現在のプログラムの基礎ですが、それは VPT 契約を確立することがいかに簡単であるかに同意する場合に限られます。

核廃棄物の地下処分、ろ過プロセス、地熱貯留層はすべて、多孔質材料内での熱交換対流の例です。 技術や地球物理学の困難だけでなく、製造における沸騰熱伝達など、多くの状況における MHT の幅広い用途について、近年、多相運動における MHT の発生が考慮されています。 Hsieh 28,29 は、平面幾何学における RTI と KHI の両方について、熱と物質移動を伴う 2 つの非粘性流体の界面流れ問題の一般的な定式化を確立しました。 Hsieh 28,29 は、この簡略化された手法を適用して線形および非線形の安定性問題の両方を調査した最初の科学者と考えられています。 Ho30 は、MHT の存在下で同じ動粘度を持つ 2 つの粘性液体の RTI の線形解析を検討しました。 安定性基準では、MHT が安定化の影響を与えることが判明しました。 Nayak 氏と Chakraborty31 氏によると、KHI は安定性と構成に不安定な影響を及ぼします。 さらに、KHI は円筒形状よりも平面形状の方が低かった。 液体と蒸気の表面と水平に流れる蒸気の RTI と KHI を調査しました。 粘度相転移の連動は RTI に対して安定化の影響を与えるが、KHI に対しては不安定化の影響を及ぼし、これらの分布はマランゴニ効果と表面張力の両方に依存することが発見されました。 今回の記事のエネルギーと濃度の方程式にもかかわらず、得られた結果は以前に得られた結果とよく一致しました 32。 発熱/吸収および化学反応種を伴う移動ウェッジの Carreau 粘度モデルについてはこれまで議論されていません 33。 温度プロファイルは、正の値では上昇する一方、負の値の影響下では低下することが示されました。 Moatimid et al.34 は、マランゴニ対流効果を利用して、制限されたナノ液体層の一時的な不安定性におけるこれらの状況を調べました。 有限深さの水平ナノ流体層における対流の開始の重要性は、ナノ流体媒体における拡散現象を制御する重要な要素であるため、その重要性を誇張することはできません 35。 2 つの流れるライナー-リブリン液体間の垂直円筒境界分離の非線形不安定性が数学的に検査されました 36。 システムを表すために、不変の縦方向の電力強度が使用されました。 さらに、MHT と浸透性媒体の影響も考慮されました。 現在の研究では、MHT の重要性を考慮して、MHT の存在下での界面の不安定性を調査しています。

前述したように、リブリン・エリクセン粘弾性流体は産業において幅広い用途を持っています。 浸透性媒体を横切る浮遊粒子の存在下での層状リブリン・エリクセン粘弾性流体の流体磁気安定性は、現代の技術で役立つ可能性があります。 何人かの研究者がこのテーマを調査しました。 しかし、浸透性媒体中の懸濁粒子の存在下での層状リブリン・エリクセン粘弾性流体の流体力学的安定性については、これまで触れられていなかった。 したがって、今回の論文にはこれらすべての側面が含まれています。 リブリン・エリクセン流体は、円形の垂直シリンダーに挿入されます。 内部および外部の液体は両方とも、軸方向の均一な縦磁力にさらされます。 方法論的な関心に加えて、このトピックには科学的および実践的な関連性もあります。 安定条件は理論的かつ定量的に決定され、証明されます。 その結果、表面たわみ解の推定プロファイルが決定されます。 現代の技術、産業、化学工学、およびその他の分野における非ニュートン流体の重要性のため、今回の論文では均一な接線磁場の存在下での層状粘弾性リブリン・エリクセン流体の安定性を調査することに動機付けられています。 さらに、地球物理学的設定では流体は純粋ではないことが多く、浮遊粒子が含まれています。 現在の研究の主な目的は、読者に次の質問に対する適切な答えを探すよう促すことです。

線形安定性アプローチの基準は何ですか?

線形パフォーマンス全体を通して、物理的な無次元数はいくつ存在しますか?

これらの無次元数は相図にどのような影響を与えるのでしょうか?

非線形安定感のアプローチとは何でしょうか？

界面変位の推定解は何ですか?

この記事の残りの部分は、スキームの提示を理解するために次のように構成されています。「問題の構築」では、基礎となるほこりの多い運動方程式と関連する非線形境界要件を含む問題の定式化を紹介します。 このセクションには、ノーマルモード解析に基づく解法と支配的な非線形特性方程式も含まれます。 解決方法は「解決方法」に記載されています。 「線形安定性解析」では、線形分散関係と安定性解析を紹介します。 さらに、このセクションでは線形アプローチの線形安定性解析が実行されます。 「非線形安定性解析」では、Ginzburg-Landau 方程式で現れる非線形安定性と理論計算および数値計算について説明します。 「近似界面変位プロファイル」では、拡張周波数概念を使用して HPM に照らして界面変位の一様な近似解を導き出します。 このセクションには、この分布の数値推定も含まれます。 「おわりに」では、得られた結果を結論として報告します。 このセクションでは、当面の問題の線形/非線形不安定性の評価におけるさまざまな材料要因の影響に関する主な結論を示します。

リブリン・エリクセン型の 2 つの非圧縮性粘弾性流体が拘束され、さまざまな密度の浮遊ダスト粒子が存在する 2 つの固体円柱を接続します。 2 つの媒体に浸透する変化しない軸方向の磁気強度と、円筒状の界面を横切る MHT の両方が存在します。 環状ゾーン内の純粋な液体は、異なる密度、粘弾性、粘度、透磁率を持っています。 Hsieh の簡略化した公式 28,29 を考慮すると、シリンダーの内面と外面の熱は異なります。 塵の粒子を考慮すると、塵の粒子の速度と密度の数値が存在します。 \(\underline{U} (r,z;t)\) が純粋な液体の速度ベクトルであると仮定する人もいるかもしれません。 ストーク抵抗係数も考慮されます。 現在の構造の仮説プロトタイプを図 1 に示します。

理論モデルをスケッチします。

基本的な運動方程式は参考文献 37、38 に次のように記載されています。

そして

ダスト粒子の運動と連続の方程式 ( \(mN\) は粒子の質量単位体積、 \(V\) は、Sharma と Sharma38 によって与えられる浮遊ダスト粒子を示します。

そして

埋め込まれたダスト粒子が存在する場合、ダスト粒子と液体を結ぶ速度微分方程式に対応する追加の力の項が式 (1) に存在します。 (1)。 粒子に関しては浮力は無視されます。 粒子間の関係は考慮されておらず、粒子の距離は粒子の直径に比べて非常に大きいと推測されます。 ダスト粒子の数密度は控えめであると考えられるため、粒子濃度の変化は無視されます。 したがって、式 (4) はその後採用されず、式 (4) (1) は次のようになります。

ここで \(M = \frac{KN\mu }{{KN + \mu }}\)。

基本的な平衡状態からのわずかな逸脱を考慮すると、界面プロファイル \(S(r,z;t)\) は次のように定式化できます。

その中で

ベルヌーイの方程式を利用すると、圧力は次のように表すことができます。

私たちの研究は VPT に基づいています。 したがって、純粋な流体の速度は、速度分布 \(\phi_{j} (r,z;t)\) の勾配として記述できます。

解決方法については、次のセクションで説明します。

摂動された各物理量は次のように表すことができます。

ここで \(\tilde{F}(r,t)\) は \(r,t\) のランダム分布です。

この解析では、両方の液体が非回転かつ非圧縮性であると仮定しており、これにより速度ポテンシャル関数はラプラス方程式を満たすことになります。 つまり、

\(\nabla^{2} \equiv \frac{{\partial^{2} }}{{\partial r^{2} }} + \frac{1}{r}\frac{\partial } {\partial r} + \frac{{\partial^{2} }}{{\partial z^{2} }}\)、および

したがって、次のようになります。

ここで、時間依存の任意関数は \(C_{1}^{(j)} (t)\,\,{\text{and}}\,\,C_{2}^{(j)} (t ).\)

私たちの分析では、準静的な推定が有効であるため、磁気強度は次のように取得できます。

ガウスの法則では、ポテンシャル関数が次のとおりであることが要求されます。

式によると、 (9) より、磁気ポテンシャル関数は次のように表すことができます。

ここで、時間依存の任意関数は \(C_{3}^{(j)} (t)\,\,{\text{and}}\,\,C_{4}^{(j)} (t ).\)

速度と磁気ポテンシャルのプロファイルは、式 1 と 2 に示されています。 (12) と (15) は次の条件に従います。

剛体境界 \((r = r_{j} ,\,\,j = 1,2)\) では、流体の法線速度とポテンシャルの法線成分が消えるはずです。 対応する境界条件は次のとおりです。

磁気変位の接線方向成分には次のものが必要です。

ここで \(\left\| \bullet \right\| = \bullet_{2} - \bullet_{1}\) は、対応して外部と内部の液体ジャンプを示します。

界面 \(r = R + \zeta \left( {z;t} \right)\) における法線磁気誘導成分の連続性は次のようになります。

摂動表面による質量とエネルギーの保存には、次のことが必要です29

摂動表面 29 のエネルギーには次のものが必要です。

ここで、 \(f\left( \zeta \right)\) は正味の温度流束を表します。 平衡状態では、流体相 1 および流体相 2 における \(r\) の正の方向の温度流束は \(- \kappa_{1} \left( {T_{1} - T_{0} } \right) となります。 )/R\,Log\left( {r_{1} /R} \right)\) および \(- \kappa_{2} \left( {T_{0} - T_{2} } \right)/R \,Log\left( {R/r_{2} } \right)\)。 Ref.31 のように、次のように書きます。

テイラー理論を使用してそれを拡張すると、次のようになります。

\(f\left( 0 \right) = 0,\) と仮定します。

ここで \(G\) は定常であり、平衡状態にある 2 つの液体を接続する摂動表面を通る温度流束が等しいことを示しています。

方程式から。 (6)、(20)、(22) を実行すると、次のようになります。

どこ

そして

等式を代入する (12) と (15) を式に代入します。 (17–19) および (24) のように、前述の非線形境界要件で信頼できる解は次の形式で定式化できます。

そして

ここで、関数 \(h(r,r_{j} )、\,g(r_{j} ,R)\) および \(\Lambda\) はすべて付録にリストされています。

構造の安定性を詳しく調べるために、応力テンソルの法線成分は次のように生成します。

ベルヌーイの方程式を考慮して圧力を除去し、前述の結果を方程式に代入することによって、 (28) 式を書き直すことができます。 (28) は次の形式の非線形関係として表されます。

ここで、 \(N(\zeta )\) は \(\zeta\) 内のすべての非線形項を表します。 さらに、 \(A_{1} 、\,A_{2} 、\,A_{3} 、\,A_{4}\) \({\text{and A}}_{{5}}\) は定数。 テキストを簡単に理解できるように、テキストは付録に移動されています。

この段階では、線形安定性の方法論を精査しますが、表面高さ \(\zeta\) の非線形力は式 1 では無視されます。 (29)。 その後、線形分散方程式は次のように定式化できます。

式(1)の波伝播公式。 (30) は次のように仮定できます。

式を代入すると、 (31) を (30) に代入すると、次の分散関係が得られます。

ここで、係数 \(a_{0} ,\,a_{1} ,\,\,b_{1} ,\,\,a_{2} \,{\text{and}}\,b_{2}\ ) は付録に記載されています。

式の中心軸を持つ 2 つの円柱は次のようになります。 (32) は線形分散式を示します。 この金額は、制限に関連する波数と開発速度によって構成されます。 線形安定性戦略によれば、成長率の挙動によって時間履歴が安定しているか不安定であるかが決まります。 虚数部が正の場合、最終的に不安定性が増大します。 したがって、機構に線形不安定性が発生します。 虚数成分が負の場合、外乱が減少するため、機構は線形に安定します。 したがって、安定性か不安定性は、実際のコンポーネントのメカニズムがどのように動作するか、および一定期間振動するかどうかによって決まります。 このセクションの主な目的は、線形方法論を使用して機械的安定性を調べることです。 Routh-Hurwitz 基準 39 を式に適用します。 (32) より、安定性の条件 (\(\omega\) の虚数部 \(\omega_{I}\) がゼロより小さい) は次のように得られます。

単純な計算の後、2 番目の不等式は次のように \(H_{0}^{2}\) の多項式で書く​​ことができます。

係数 \(\Gamma\) と \(\tilde{\Gamma }\) は記事の長さを減らすために省略されています。

今後、安定条件は無次元形式で表現される必要があり、無次元量は次のように表すことができます。

便宜上、星は省略させていただきます。

現在、検討中の系に関係する多数の物理的要因の影響を調べるために、図 \ で波数 \(k\) に対する変化 \(Log \, H_{0}^{2}\) を描画します。 Mathematica ソフトウェアを使用して、次のパラメータ値に対して (2 - 9\) を計算します。

\(\rho = 3, \, \,{\text{Oh}} = {0}{\text{.6,}}\,\,{\text{We}} = {100,}\,\ ,L = 0.2,\,\,Da = 10,\,\mu = 0.6,\,\sigma = 5,\,\,N = 0.4,\,\,\nu^{\prime}_{1} \,\, = 0.3,\,\,\,\nu^{\prime}_{2} \,\, = 0.4,\,{\kern 1pt} \,\varepsilon_{m} = 0.2,\, \,\alpha_{1} = 0.4、\,\,U_{0} = 2.5\)。 遷移曲線は、ダイアグラムを曲線の上の安定ゾーン (S) と曲線の下の不安定ゾーン (U) に分割します。

図 2 と図 3 は、純粋な内部流体 \(\nu_{1} のさまざまな量の動粘弾性に対する \(Log \, H_{0}^{2}\) の変化を波数 \(k\) で示しています。 ^{^{\prime}}\) と純粋な外部流体の動粘弾性 \(\nu_{2}^{^{\prime}}\)。 図３から、純粋な外部流体の動粘弾性を増加させることにより、安定領域が上昇することがわかる。 したがって、純粋な外部流体の動粘弾性が、考慮されている構造に安定化の影響を与えていると結論付けます。 同様の成果が El-Sayed ら 37 と Awasthi ら 40 によって達成されています。 粘弾性が式に存在するので、 (1) 負の符号を付けると、弾性が増加するとエネルギー散逸が少なくなります。 界面で得られるエネルギーが少なくなると、摂動の振幅が小さくなり、外乱が伝わるまでに時間がかかります。 つまり、外乱は通常よりもゆっくりと伝わります。 対照的に、図 2 は、純粋な内部流体 \(\nu_{1}^{^{\prime}}\) の動粘弾性の不安定化の影響を示しています。

パラメータ \(\nu_{1}^{^{\prime}}\) の影響を示します。

パラメータ \(\nu_{2}^{^{\prime}}\) の影響を示します。

\(Log \, H_{0}^{2}\) 対波数 \(k\) の変化を、オーネゾルゲ数 \(Oh\) の量を変えて図 4 にプロットしました。 \(Oh\) が増加すると、安定領域が減少することがわかります。 したがって、\(Oh\) は不安定な影響を及ぼします。 これらの結果は、Moatimid らによる最近の研究と一致しています41。 \(Oh\) が減少すると、内部流体の密度と表面張力が増加し、その結果、安定領域が増加します。 これは、内部流体の密度と表面張力には安定化の性質があると結論付けられます。

パラメータ \(Oh\) の効果を表示します。

図 5 では、\(Log \, H_{0}^{2}\) の遷移曲線が、さまざまな量のウェーバー数 \(We\) に対してプロットされています。 \(We\) は慣性力と表面張力の比であり、2 つの異なる液体を接続する表面がある液体の流れを調べるのに役立ちます。 ウェーバー数 \(We\) を増加させると安定ゾーンが上昇することが知られており、したがってウェーバー数には安定化効果があります。 したがって、慣性力は界面を安定化させる効果があるのに対し、表面張力は不安定化させる性質があると結論付けることができます。 我々の結果は、Moatimid et al.42 および Awasthi et al.40 と一致します。

パラメータ \(We\) の影響を表示します。

\(Log \, H_{0}^{2}\) の中立曲線に対するダスト \(\sigma\) の緩和時間パラメーターの影響を図 6 に示します。 \(\sigma \) は、検討中のスキームに安定化効果をもたらします。 我々の結果はHe et al.43と一致しています。 ほこりっぽい \(\sigma\) の緩和時間パラメーターは、ストックの抗力係数に反比例します。 したがって、Stocks の抗力係数は界面を不安定にします。 互換性のある結果は参考文献 43 で得られました。

パラメータ \(\sigma\) の影響を示します。

\(Log \, H_{0}^{2}\) の中性曲線の波数 \(k\) に対する変化を、塵状粒子 \(L = 0.2、0.4\、\、{\text{ および 0}}{.6}\)。 粉塵粒子の質量濃度が増加すると、安定領域が減少するため、\(L\) が不安定化する効果があることが観察されています。 我々の結果はHe et al.43と一致した。 塵状粒子の質量濃度は、浮遊内部塵粒子 \(N_{1} \,\) の密度数に直接依存し、純粋な内部流体 \(\rho_{1}\) の密度に反比例します。 したがって、\(N_{1} \,\) は不安定化効果を示しますが、\(\rho_{1}\) は界面を安定させます。 同じ結果が図２〜図５からも得られる。 したがって、 \(\rho_{1}\) には安定化の性質があります。

パラメータ \(L\) の効果を示します。

図 8 は、浮遊ダスト粒子 \(N\) の密度数比のさまざまな値を考慮した \(Log \, H_{0}^{2}\) の中立曲線を示しています。 不安定ゾーンは、浮遊内部ダスト粒子の密度数が浮遊外部ダスト粒子の密度数と等しいときに最大になることがわかります。 浮遊内側ダスト粒子の密度数が浮遊外側ダスト粒子の密度数より大きい場合、安定範囲は減少しますが、浮遊外側ダスト粒子の密度数が密度より大きい場合、界面はより安定になります。浮遊している内部塵粒子の数。 その結果、浮遊する外側のダスト粒子の密度数には安定化の性質があり、浮遊する内側のダスト粒子の数密度は与えられた構造に不安定な影響を与えると結論付けられます。 図 7 からも同様の結果が得られました。

パラメータ \(N\) の影響を表示します。

図 9 は、ダルシー数 (透過性パラメータ) の量を変えた場合の、波数 \(k\) に関する \(Log \, H_{0}^{2}\) の偏差を示しています。 ダーシー数の増加は、現在のシステムを安定させる傾向があります。 ダーシー数値は媒体の浸透性に直接依存します。 したがって、培地の透過性は不安定化効果を示します。 安定化衝撃はRef.42と一致します。

パラメータ \(Da\) の影響を表示します。

図 10 は、熱伝達係数 \(\alpha {}_{1}\) の影響を示しています。これは、\(Log \, H_{0} の中立曲線に対する正味温度流束と潜熱の比です) ^{2}\)。 \(\alpha {}_{1}\) は、考慮されている構造の安定性の全体像にわずかに不安定な影響を与えることがわかります。 この結果は以前の研究と一致しました44,45。

パラメータ \(\alpha {}_{1}\) の影響を示します。

図 11 は、粘度比 \(\left( {\mu = 0.2, \,0.3,\,\,0.4\,\,{\text{and}}\,0.5} \right)\)。 \(\mu\) が上昇するにつれて安定領域も上昇することがわかります。 したがって、粘度比には安定化の影響があると結論付けられます。 この結果は、El-Sayed et al.37 および Awasthi et al.40 の結果と一致しています。 周知のとおり、粘度比 \(\mu\) は、外側の純粋な液体の粘度に正比例し、内側の純粋な液体の粘度に反比例します。 したがって、純粋な外側の流体の粘度は安定化の影響を及ぼしますが、純粋な内部の流体の粘度は不安定化の役割を果たします。

パラメータ \(\mu\) を表示します。

以下の目的は、対象システムの非線形安定性を調査することです。 線形安定性の解析で示されているように、摂動面 \(\zeta (z,t)\) の変位は、式 1 で与えられる独特の形状を持っています。 (31)。 非線形方程式 (29) は次の代数方程式に書き換えることができます。

ここで \(D(\omega ,k),\,\,\lambda_{1} (\omega ,k)\) および \(\,\lambda_{2} (\omega ,k)\) は線形およびそれぞれ非線形係数。 これらの用語は長いため、ここでは省略します。

式の安定性解析を調べる手順は次のとおりです。 (35) は、参考文献 10、11、42 など、いくつかの以前の研究で詳細に議論されています。 したがって、以前の文献で示されているのと同様の観点を適用すると、次のギンツブルグ-ランダウ方程式が次のように求められます。

どこ

ここで、\(V_{g}\) は群速度を示します。\(P\) と \(Q\) は長い用語なので、ここでは省略します。 ご要望に応じて、著者が提供いたします。

ギンツブルグ-ランダウ方程式の安定性解析 (36) は以前に検討されています46。 したがって、構造は次の条件に従って安定していることがわかります。

そうでない場合、システムは不安定です。 安定ゾーンと不安定ゾーンを分ける遷移曲線は、以下に対応します。

そして

非線形数値の議論では、安定性の条件を無次元量で記述すると便利です。 したがって、次のような無次元形式を想像してください: \(\left( h \right)\)、\(\left( {1/\omega } \right)\)、および \(T/\omega^{2}\ ) は、それぞれ長さ、時間、質量を指します。 長くても直接的な計算の後、遷移曲線 \(P_{r} Q_{r} + P_{i} Q_{i} = 0\) は \(H_{0}^ の 5 次多項式で書く​​ことができます。 {2}\) として:

一方、遷移曲線 \(Q_{i} = 0\) は、次のように \(H_{0}^{2}\) 上の多項式に配置できます。

式の係数は次のようになります。 (41)と(42)は非常に長いので、記事のサイズを防ぐために省略します。

いくつかの数値曲線は負であるか複素数であるため、図 12 には表示されていないことに注意してください。

方程式に示されているような自然な曲線は次のとおりです。 (39) と (40)。

非線形安定性解析を通じて安定性の基準を明確にするために、方程式および式に示す数値曲線を使用します。 (41) と (42) は図 12 で設計されています。この図に示されているように、赤い曲線は式 (41) からの 1 つの正の実数根を表します。 (42) 一方、青い曲線は、式 (42) からの 1 つの正の実根を表します。 (41)、式 (41) からの他の根。 (41) と (42) は負または複素数です。 図 12 からわかるように、非線形安定ゾーンは、赤と青の曲線を接続する領域です。 非線形解析の安定性/不安定性のゾーンは、文字 S と U で記号化されています。この図から、磁場が不安定化の影響を及ぼしていることが明らかです。 この結果は以前の研究と一致します47。

図 13 では、パラメータ \(\alpha_{3}\) に対する MHT の影響を表示しています。 この図からわかるように、非線形安定領域は、式 (1) の正の実根のみに依存する曲線によって規定されます。 (42)。 この図は、\(\alpha_{3}\) が上昇するにつれて安定領域が上昇することを示しています。 したがって、磁場の存在は熱伝達の性質に影響を与えません。 同様の結果が Dharamendra と Awasthi48 によって観察されました。 これは、MHT が安定化する効果があることを示しています。 この結果は、これまでに何人かの研究者によって証明されています。 たとえば、Agarwal と Awasthi49 を参照してください。

変化が \(\alpha_{3}\) の遷移曲線。

純粋な外側の液体 \(\nu^{\prime}_{2}\) の動粘弾性の影響を図 14 で調べます。係数 \(\nu^{\prime}_{ 2}\) には安定化効果があります。 同様の発見が Awasthi et al.40 で見つかりました。 この結果は、図 3 に示す線形理論アプローチによる以前の結果とよく一致しています。 知られているように、粘弾性が増加すると、界面で得られる電力が減少するため、エネルギー散逸が減少します。 したがって、摂動の振幅は減少し、摂動が伝わるまでの時間が長くなります。 したがって、粘弾性は安定化する性質を持っています。 この結果は以前の研究と一致します37。

\(\nu^{\prime}_{2}\) の偏差を持つ中立曲線。

図 15 には、純粋な外側液体の粘度の影響が示されています。 非線形解析では、外側の純粋な液体の粘度が上昇すると安定領域が減少することがわかり、これは \(\mu_{2}\) が不安定化の影響を及ぼしていることを示しています。 この結果は、El-Sayed および Al-Harbi50 の結果と一致しています。 さらに、粘性ポテンシャル流理論における粘度は、不安定化する影響を及ぼします 51。

\(\mu_{2}\) の偏差を持つ中立曲線。

図 16 は、浮遊外側ダスト粒子 \(N_{2} \,\) の密度数の影響を示すことに特化しています。この図から、\(N_{2} \,\) にはわずかに安定化効果があることが明らかです。検討中の構造への影響。 この結果は、図 8 に示す結論と一致します。

変化が \(N_{2} \,\) の遷移曲線。

このセクションでは、摂動界面の解析的に推定された解を示します。 摂動界面の数値解と解析解の比較について説明します。 前に得たように、非線形特性式 (1) が得られました。 これは、摂動界面 \(\zeta (z,t)\) の複素係数をもつ 2 次の非線形偏微分方程式で表されます。 その後の計算を容易にするために、次のように仮定できます。

時間依存性、つまり、歴史的安定性の真の指標である \(\zeta = \zeta (0,t) = u(t)\) のみを考慮すると、次の計算を行うのが簡単になります。 この仮定の下で、非線形特性方程式を式 (1) のように書き直すことができます。 (29)として

ここで、 \(N_{1} (u^{2} )\) および \(N_{2} (u^{3} )\) はすべての非線形項を表します。 係数 \(\,m_{i} \,\,(i = 1,2,...9)\) は長いため省略します。 リクエストに応じて著者から入手できます。

式の実数部と虚数部を分離します。 (44) 項 \(u^{\prime}\,(t)\) を削除すると、次のようになります。

どこ

\(\tilde{\omega }^{2}\) は、現在のモデルの固有振動数、係数 \(\,Y_{i} \,\,(i = 0,1,2,3)\) を示します。はバックグラウンドから認識され、\(\hbar\) はホモトピー パラメーターとして知られています。

式 (45) は、一般化された 3 次非線形微分方程式を表します。 この方程式を解くために、次の主な要件を提案できます。

式の分析推定解を取得するには、次のようにします。 (45) では、ラプラス変換を使用した HPM のシーケンスで評価が確立されます。 このアプローチは、Ref.11 で述べられる非線形周波数 \(\varpi^{2}\) の展開に基づいています。

HPM によれば、時間依存関数 \(u(t;\hbar )\) の拡張形式は次のように定式化できます。

式を代入すると、 式(47) (45) より、次の非線形特性方程式が得られます。

ラプラス変換を式に計算することにより、 (49) 式で指定された予備要件を考慮します。 (46) より、次の式が得られます。

逆ラプラス変換を行うと、式 (1) の両辺の \(L_{T}^{ - 1}\) が得られます。 (50) を実行すると、次のことがわかります。

式を代入すると、 式(48) (51) そして、等しい辺の \(\hbar\) の等乗の量を比較すると、次の方程式が得られます。

式を代入すると、 (52) を式に代入します。 (53) 永続項をキャンセルすると、\(\sin \,\,\varpi \,\,t\) と \(\cos \,\,\varpi \,\,t\) の係数が削除されます。 。 この手順によれば、次のように \({\mathfrak{R}}_{1}\) の値が得られます。

式を代入すると、 (54) を式に代入します。 (47) より、新しい非線形周波数で次の 4 次方程式が得られます。

この方程式を解くと、次のように \(\varpi\) の値が得られます。

等式を代入する (54) と (52) を式に代入します。 (53) より、次のように \(\delta_{1} \,(t)\) の周期解が得られます。

したがって、時間依存関数 \(u(t)\) の有界推定解は次のように書くことができます。

ここで、\(u_{0}\) と \(u_{1}\) は式で表されます。 (52) と (57) も同様です。

調査のこの部分では、得られた理論的結果の数値計算が実行されます。 無次元量は、達成される結果を単純化するのに非常に効果的です。 この目的のために、非線形アプローチで提供されるのと同じ無次元量を考慮します。 数値結果を確立するために、図は次の詳細を考慮した構造用に設計されています。

したがって、図 17 は、式 (1) で与えられる推定解を表示します。 (58)。 ご覧のとおり、溶液は均一な波として動作します。 これは、すべての世俗的な期間が解除されたために起こります。 従来の HPM では、物理的に望ましくない成長速度のソリューションが得られることに注意してください。 したがって、HPM の修正に従って、非線形拡張周波数の概念により、これらの永続的な用語の出所を回避することができます。 同時に、この図は、式 (1) で与えられる摂動界面の解析解間の比較を表します。 (45) および理論的結果を検証するための数値的方法論。 2 つの解決策が一貫していることがわかります。

摂動界面の解析解と数値解の比較。

我々は、界面を横切る MHT を使用した、2 つの埃っぽいリブリンエリクセン磁性流体間の垂直円筒摂動表面の線形および非線形安定性の詳細な解析を発表しました。 この研究全体を通じて、軸対称の外乱が考慮されます。 この仕事は廃水処理と石油輸送に重要性を見出しています。 適用可能な非線形境界制限を備えた線形基本公式は、界面変位を支配する特徴的な非線形偏微分方程式で開発されました。 ラウス-ハーヴィッツ理論を通じて、線形安定性の基準が達成されました。 複数のスケールの方法が採用されており、非線形のギンツブルグ・ランダウ方程式が実現されています。 この方程式は、対象となるシステムの非線形安定性ベンチマークを決定します。 したがって、非線形解析の安定条件が達成され、解析的にも数値的にも検査されます。 いくつかの物理的要因の影響を示す一連の図が表示されます。 最後に、非線形拡張周波数の概念を備えた HPM を使用して、摂動界面の推定解を実現します。 数値解と比較すると、高品質のマッチングが得られます。 研究全体の最終結果は次のように要約されます。

線形解析を行うと、次のことが得られます。

内部に浮遊する塵粒子の密度数が浮遊する外部塵粒子の密度数より小さい場合、構造は安定します。逆の場合も同様です。

ダスト粒子の緩和時間係数、ウェーバー数、ダルシー数は、研究された構造に安定化の影響を与えます。

オーネゾルゲ数、ダスト粒子の質量濃度、および HMT は、構造に不安定な影響を与えます。

純粋な外側流体の動粘弾性が内側液体の動粘弾性よりも大きい場合、構造は安定です。

純粋な内部液体の密度と表面張力は、構造の安定化に影響を与えます。

非線形解析で得られた結果は次のように概説できます。

磁力を下げることで構造の安定性が高まります。

非線形 MHT の増加により、スキームの安定性が向上します。

純粋な外側液体の動粘弾性と浮遊外側ダスト粒子の数密度は、構造の安定性に安定化影響を与えます。 これらの結果は、線形研究で得られた結果と同じです。

安定範囲は、純粋な外側の液体の粘度が増加すると減少します。つまり、純粋な外側の液体の粘度は不安定化する効果があります。

HPM を考慮すると、周波数設定の助けを借りて、表面変位の均一な推定ソリューションが達成されます。 このソリューションはよく一致しており、RK4 によって検証されています。

エネルギーと濃度方程式の存在は、Hsieh の単純化とは別に一緒に提供されます。

いくつかの非ニュートン流体タイプの異なるナノ流体が採用されます。

さまざまな実際の工学応用における粉塵流体の重要性を考慮して、平面幾何学におけるさまざまな安定性の問題が扱われます。

時間的に変化する外部フィールドが提供されます。

非摂動的な高度な方法を使用して、非線形偏微分方程式を評価する際の非摂動的なアプローチを考慮して安定性の方法論を調べることができます。

この研究中に生成または分析されたすべてのデータがこの原稿に含まれています。

静水圧 \(({\text{kg}}\,{\text{m}}^{ - 1} \,{\text{s}}^{ - 2} )\)

浮遊内部ダスト粒子の密度数

外部浮遊塵粒子の密度数

均一な軸方向磁場 (テスラ)

ストークス抵抗係数

波数 (\({\text{m}}^{ - 1}\))

純粋な液体の速度 \(({\text{m}}\,{\text{s}}^{ - 1} )\)

塵粒子の速度 \(({\text{m}}\,{\text{s}}^{ - 1} )\)

界面の温度 \(({\text{ケルビン}})\)

内筒内の温度 \(({\text{ケルビン}})\)

外筒内の温度 \(({\text{ケルビン}})\)

内側の剛体円柱の半径 \(({\text{m}})\)

外側の剛体円柱の半径 \(({\text{m}})\)

\(r{ - }\) 方向に沿った単位ベクトル

\(z{ - }\) 方向に沿った単位ベクトル

第一種ゼロ次修正ベッセル関数

第 2 種ゼロ次修正ベッセル関数

中程度の透過性 \(({\text{m}}^{2} )\)

オーネゾルゲ番号

ウェーバー数

ダーシーナンバー

塵粒子中の質量濃度

相変態時に放出される潜熱

表面張力 \(({\text{dyn}}\,{\text{cm}}^{ - 1} )\)

前項の複素共役

純粋な内部流体の密度 \(({\text{kg}}\,{\text{m}}^{ - 3} )\)

純粋な外部流体の密度 \(({\text{kg}}\,{\text{m}}^{ - 3} )\)

純粋な内部流体の粘弾性 \(({\text{kg}}\,{\text{m}}^{ - 1} )\)

純粋な外側液体の粘弾性 \(({\text{kg}}\,{\text{m}}^{ - 1} )\)

純粋な内部液体の粘度 \(({\text{kg}}\,{\text{m}}^{ - 1} \,{\text{s}}^{ - 1} )\)

純粋な外側液体の粘度 \(({\text{kg}}\,{\text{m}}^{ - 1} \,{\text{s}}^{ - 1} )\)

純粋な内部液体の透磁率

純粋な外部液体の透磁率

純粋な内部液体の熱伝導率 \(({\text{W}}\,{\text{m}}^{ - 1} \,{\text{K}}^{ - 1} )\)

純粋な外部流体の熱伝導率 \(({\text{W}}\,{\text{m}}^{ - 1} \,{\text{K}}^{ - 1} )\)

塵粒子の半径 (\({\text{m}}\))

変位外乱 \(({\text{m}})\)

速度ポテンシャル関数 \(({\text{m}}^{2} \,{\text{s}}^{ - 1} )\)

磁気ポテンシャル関数

ダスト粒子の緩和時間係数

波列解の振幅

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アイン・シャムス大学教育学部数学学科、ロキシー、カイロ、エジプト

ガラル M. モアティミド & DM モスタファ

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GMM: 作業を理論化しました。 準備草案の原本が記載されている。 方法論に参加した。 原稿を調整し、改訂した。 結果を検証しました。 DMM: 方程式と解を分析しました。 整理されたデータ。 結果を検証しました。 図を用意し、議論を書きました。

DMモスタファへの通信。

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転載と許可

Moatimid、GM、Mostafa、DM 円筒面で囲まれた 2 つの粉っぽい磁性液体の非線形安定性: 質量と熱拡散の影響。 Sci Rep 13、7096 (2023)。 https://doi.org/10.1038/s41598-023-33025-1

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受信日: 2022 年 12 月 13 日

受理日: 2023 年 4 月 6 日

公開日: 2023 年 5 月 1 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33025-1

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